Question

如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且         
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.…………
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，， 

∴與平面所成的角的余弦值為.…………
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.      
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角. …………
解法二：如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，
設，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，     
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.…………
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴與平面所成的角的余弦值為.………
（Ⅲ）同解法1.

略