Question

已知函數f（x）=（ax²+x）e^x其中e是自然數的底數，a∈R．
（Ⅰ）當a＜0時，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上是單調增函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0時，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解的所有整數k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e^x＞0，f（x）＞0可化為ax²+x＞0，在a＜0時，解關于x的不等式ax²+x＞0即可；
（Ⅱ）f（x）在[-1，1]上是單調增函數，則f，（x）≥0在[-1，1]上恒成立；討論a=0、a＞0、a＜0時f，（x）的情況，求出a的取值范圍；
（Ⅲ）a=0時，方程為xe^x=x+2，由e^x＞0，知x≠0，原方程化為e^x-

2

x

-1=0；設h（x）=e^x-

2

x

-1，求h（x）在x≠0時的零點所在的區間，從而確定整數k的值．

解答：解：（Ⅰ）∵e^x＞0，∴當f（x）＞0時即ax²+x＞0，
又∵a＜0，∴原不等式可化為x（x+

1

a

）＜0，
∴f（x）＞0的解集為（0，-

1

a

）；
（Ⅱ）∵f（x）=（ax²+x）e^x，
∴f，（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當a=0時，f，（x）=（x+1）e^x，
∵f，（x）≥0在[-1，1]上恒成立，當且僅當x=-1時取“=”，
∴a=0滿足條件；
②當a≠0時，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
∵△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
∴g（x）=0有兩個不等的實根x₁、x₂，
不妨設x₁＞x₂，因此f（x）有極大值和極小值；
若a＞0，∵g（-1）•g（0）=-a＜0，∴f（x）在（-1，1）內有極值點，∴f（x）在[-1，1]上不單調；
若a＜0，則x₁＞0＞x₂，∵g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]單調遞增，由g（0）=1＞0，
∴

g(1)≥0 g(-1)≥0

即

3a+2≥0 -a≥0

，∴-

2

3

≤a≤0；
綜上可知，a的取值范圍是[-

2

3

，0]；
（Ⅲ）當a=0時，方程f（x）=x+2為xe^x=x+2，
∵e^x＞0，∴x=0不是原方程的解，
∴原方程可化為e^x-

2

x

-1=0；
令h（x）=e^x-

2

x

-1，
∵h，（x）=e^x+

2

x2

＞0在x∈（-∞0）∪（0+∞）時恒成立，
∴h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上是單調增函數；
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e^-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
∴方程f（x）=x+2有且只有兩個實根，且分別在區間[1，2]和[-3，-2]上，
所以，整數k的所有值為{-3，1}．

點評：本題考查了利用導數判定函數的單調性，求函數的最值以及求函數的零點等知識，是較難的綜合題．