Question

（本題滿分18分）如果函數的定義域為，對于定義域內的任意，存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”．

（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”求出所有的值；若不具有“性質”，請說明理由．

（2）已知具有“性質”，且當時，求在上的最大值．

（3）設函數具有“性質”，且當時，．若與交點個數為2013個，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）具有“性質”，其中

（2）當時， ；當時，

（3）

【解析】

試題分析：（1）由得，

根據誘導公式得．

具有“性質”，其中．                ……4分

（2）具有“性質”，．

設，則，

，                                          ……6分

當時，在遞增，時，

當時，在上遞減，在上遞增，且， 時，

當時，在上遞減，在上遞增，且，時

綜上所述：

當時， ；當時，.   ……11分

（3）具有“性質”，

，，

，

從而得到是以2為周期的函數．

又設，則，

．

再設（），

當（），則，

；

當（），則，；

對于，（），都有，而，，是周期為1的函數．

①當時，要使得與有2013個交點，只要與在有2012個交點，而在有一個交點．過，從而得

②當時，同理可得

③當時，不合題意．

綜上所述.                                               ……18分

考點：本小題主要考查新定義下函數性質的考查，考查學生利用新定義解決問題的能力和分類討論思想的應用.

點評：分類討論解決問題時，要準確分類，分類標準要不重不漏，而且討論完之后要討論.