Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ） 證明：不論m為何值時，直線l和圓C恒有兩個交點；
（Ⅱ） 判斷直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，解方程組，可得直線l恒過定點；
（Ⅱ）直線l被圓C截得的弦長的最長時，直線過圓心；直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，從而可求m的值，求出弦心距，可得直線l被圓C截得的弦長的最小值．

解答：（Ⅰ）證明：直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0
令

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得

x=3 y=1

，∴直線l恒過定點A（3，1）
∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25
∴A在圓內，∴不論m為何值時，直線l和圓C恒有兩個交點；
（Ⅱ）解：直線l被圓C截得的弦長的最長時，直線過圓心，
直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l
∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，圓心（1，2），半徑為5
∴CA的斜率為

2-1

1-3

=-

1

2

，
∴l的斜率為2
∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率為-

2m+1

m+1

∴-

2m+1

m+1

=2
∴m=-

3

4

∵|CA|=

4+1

=

5

∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為2

25-5

=4

5

．

點評：本題考查直線恒過定點，考查弦長的計算，解題的關鍵是掌握圓的特殊性，屬于中檔題．