Question

據調查，某地區300萬從事傳統農業的農民，人均年收入6000元，為了增加農民的收入，當地政府積極引進資本，建立各種加工企業，對當地的農產品進行深加工，同時吸收當地部分農民進入加工企業工作，據估計，如果有x（x＞0）萬人進企業工作，那么剩下從事傳統農業的農民的人均年收入有望提高x%，而進入企業工作的農民的人均年收入為6000a元（a≥2）．
（Ⅰ）在建立加工企業后，要使從事傳統農業的所有農民的年總收入不低于加工企業建立前的農民的年總收入，試求x的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當地政府應該如何引導農民（即x多大時），能使這300萬農民的年總收入達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）先根據題意得出一個關于x的不等關系（300-x）×6000×（1+x%）≥300×6000，解此不等式即得x的取值范圍；
（II） 設這300萬農民的年總收入為y元，由題意得出函數y的解析式，根據二次函數開口與對稱軸可得函數在（0，200]上的單調性，從而求出最大值．

解答：（本小題滿分12分）
解：（I）由題意得（300-x）×6000×（1+x%）≥300×6000…（3分）
（300-x）（1+0.01x）≥300
化簡得x²-200x≤0，
解得0≤x≤200，
又∵x＞0∴0＜x≤200 …（6分）
（II） 設這300萬農民的年總收入為y元，則
y=（300-x）（1+x%）×6000+6000ax…（8分）
=6000×[-0.01x²+（2+a）a+300]
函數的對稱軸x=50（2+a），因為a≥2，50（2+a）≥200
y=6000×[-0.01x2+（2+a）a+300]在（0，200]單調遞增…（10分）
所以x=200時，函數取最大值
最大值為y=1800000+1200000a萬元…（12分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．