Question

求下列圓錐曲線的標準方程
（1）以雙曲線

y2

2

-x2=1的頂點為焦點，離心率e=

2

2

的橢圓
（2）準線為x=

4

3

，且a+c=5的雙曲線
（3）焦點在y軸上，焦點到原點的距離為2的拋物線．

Answer 1

（1）∵雙曲線

y2

2

-x2=1的頂點坐標為（0，±

2

），
∴所求橢圓的焦點為（0，±

2

），可得c=

2

…2分
又∵橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

，可得a=

2

c=2，b²=a²-c²=2…3分
∴所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1；…4分
（2）∵雙曲線的準線方程為x=

4

3

，∴

a2

c

=

4

3

，結合a+c=5解得a=2，c=3
∴b²=c²-a²=5…（2分）
∴所求雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1…（4分）
（3）根據題意，設拋物線的方程為x²=2py或x²=-2py（p＞0）
∵拋物線的焦點坐標為（0，±2），
∴

1

2

p=2，可得p=4…（2分）
∴所求拋物線方程為x²=8y或x²=-8y…（4分）