Question

已知函數(shù)f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax²-x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）若a=0，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)F（x）的極值點及相應的極值；
（Ⅱ）若對于任意x₂＞0，存在x₁滿足x₁＜x₂且g（x₁）=f（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)F（x）的極值點及相應的極值；
（Ⅱ）問題轉化為(x2+1)ln(x2+1)-ax22-x2＜0，在（0，+∞）上恒成立，再分類討論，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）F（x）=f（x）-g（x）=（x+1）ln（x+1）-x，F(xiàn)′（x）=ln（x+1），x∈（-1，0）F′（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)；x∈（0，+∞），F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
所以F（x）只有一個極小值點x=0，極小值為0．…（4分）
（Ⅱ） 設G(x)=ln(x+1)-f(x2)=ln(x+1)-[(x2+2)ln(x2+1)-ax22-x2]
依題意即求 G（x）在（-1，x₂）上存在零點時a的取值范圍．
又當x→-1時，G（x）→-∞，且G（x）在定義域內(nèi)單調遞增，
所以只需要G（x₂）＞0在（0，+∞）上恒成立．
即ln(x2+1)-[(x2+2)ln(x2+1)-ax22-x2]＞0，在（0，+∞）上恒成立．
即(x2+1)ln(x2+1)-ax22-x2＜0，在（0，+∞）上恒成立．…（7分）
1°若a=0，顯然不成立，因為由第一問知F（x）=（x+1）ln（x+1）-x在（0，+∞）為增函數(shù)，
故F（x）＞F（0）=0；
2°∵x+1＞0，即ln(x+1)-

ax2+x

x+1

＜0在（0，+∞）恒成立，
不妨設h(x)=ln(x+1)-

ax2+x

x+1

，x∈（0，+∞）h′(x)=

x(-ax+1-2a)

(x+1)2

，x∈(0，+∞)，h′(x)=

x(-ax+1-2a)

(x+1)2

=0，x1=0，x2=

1-2a

a

，…（9分）
若a＜0，則x2=

1-2a

a

＜0，若x＞0，h′（x）＞0，所以h（x）為增函數(shù)，h（x）＞h（0）=0（不合題意），
若0＜a＜

1

2

，若x∈(0，

1-2a

a

)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，h（x）＞h（0）=0（不合題意），
若a≥

1

2

，若x∈（0，+∞），h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，h（x）＜h（0）=0（符合題意），
綜上所述，若x＞0時，h（x）＜0f（x）＜0恒成立，
則a≥

1

2

．…（12分）

點評：本小題主要考查函數(shù)恒成立問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想