Question

【題目】已知函數.

⑴討論函數的單調性；

⑵若存在兩個極值點，且是函數的極小值點，求證：.

Answer 1

【答案】⑴當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；⑵證明見解析.

【解析】

試題分析：⑴求導，在對導函數分析可得：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；⑵化簡

，由函數存在兩個極值點（）是方程的兩根

，，且，由

，設，利用導數工具可得

.

試題解析： 函數的定義域為，

⑴，

當，恒成立，∴函數在上單調遞增；

當時，令，得或（不合題意，舍去），

則當時，，函數在上單調遞減，

當時，，函數在上單調遞增.…………5分

⑵∵，∴，

∵函數存在兩個極值點，設兩個極值點為，

∴是方程的兩根，∴，，且，

∵函數開口向上，與軸交于兩點，是函數的極小值點，

∴，從而，

由，得，，，

設，

∵，∴在上遞增，

∴，∴.……………………………………12分