Question

【題目】已知橢圓的方程為，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，點在直線的左上方．

（1）若以為直徑的圓恰好經過橢圓右焦點，求此時直線的方程；

（2）求證：的內切圓的圓心在定直線上．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）設直線的方程為．設，．由直線方程與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理得，由判別式大于0得的一個范圍，由點在直線的左上方再一個的范圍，兩者結合得的取值范圍，以為直徑的圓恰好經過橢圓的右焦點，說明，用坐標表示并代入可求得，注意的取值范圍，即得直線方程；

（2）由（1）計算，即得直線是的內角平分線，可得結論．

解：（1）設直線的方程為．設，．

由得，則，．

由，解得．

又∵點在直線的左上方，∴．

若以為直徑的圓恰好經過橢圓的右焦點，

則，即，

化簡得，解得，或（舍）．

∴直線的方程為．

（2）∵

，

∴直線平分，即的內切圓的圓心在定直線上．