Question

（2008•南匯區一模）已知，數列{a_n}有a₁=a，a₂=2，對任意的正整數n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n滿足Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a的值；
（2）求證數列{a_n}是等差數列；
（3）對于數列{b_n}，假如存在一個常數b使得對任意的正整數n都有b_n＜b且

lim

n→∞

bn=b，則稱b為數列{b_n}的“上漸進值”，令pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，求數列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上漸進值”．

Answer 1

分析：（1）利用s₁=a₁，分別代入可求a的值；
（2）欲證數列{a_n}是等差數列，只需證明a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，利用Sn=

n(an-a1)

2

可證；
（3）根據定義先表示出p₁+p₂+…+p_n-2n=2+1-

2

n+1

-

2

n+2

，再求其極限即可．

解答：解：（1）由已知，得s1=

1•(a-a)

2

=a1=a，∴a=0…（4分）
（2）由a₁=0得Sn=

nan

2

，則Sn+1=

(n+1)an+1

2

，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且有na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n），
而n是正整數，則對任意n∈N都有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數列{a_n}是等差數列，其通項公式是a_n=2（n-1）．…（10分）
（3）∵Sn=

n(n-1)•2

2

=n(n-1)∴pn=

(n+2)(n+1)

(n+1)n

+

(n+1)n

(n+2)(n+1)

=2+

2

n

-

2

n+2

∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=(2+

2

1

-

2

3

)+(2+

2

2

-

2

4

)+…+(2+

2

n

-

2

n+2

)-2n=2+1-

2

n+1

-

2

n+2

；由n是正整數可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜3，
并且有

lim

n→∞

(p1+p2+…+pn-2n)=3，
∴數列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上漸進值”等于3．…（18分）

點評：本題的考點是等差數列的確定，考查數列的綜合問題，考查數列的遞推關系與通項公式之間的關系，考查學生探究性問題的解決方法，注意體現轉化與化歸思想的運用，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．