Question

已知圓柱的體積為2π，則圓柱表面積的最小值為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的是圓柱的表面積和體積問題．在解答時，首先要根據題意列出表面積關于圓柱中某個量的目標函數，充分利用所給的條件減少自變量并研究自變量的取值范圍．最終根據目標函數求最值即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意可知：設圓柱的底面半徑為r，母線長為l，體積為V，表面積為S．
則：V=2π，π•r²•l=V，
∴l=

2π

πr2

，
所以圓柱的表面積為：S=2πr2+2πrl=2πr2+2•π•r•

2π

πr2

=π(2r2+

4

r

)  =π(2r2+

2

r

+

2

r

)
≥3π

3	2r2• 2 r •  2 r

=6π
當且僅當2πr2=

2

r

時，即r=

3	1 π

時等號成立．
故答案為：6π．

點評：本題考查的是圓柱的表面積和體積問題．在解答問題的過程當中充分體現了目標函數的思想、問題轉化的思想以及函數求最值的思想．值得同學們體會反思．