Question

(12分) 已知函數=log_a(a＞0且a≠1)是奇函數
（1）求_，（
(2)討論在(1,+∞)上的單調性,并予以證明

Answer 1

（1）
（2）當a＞1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為減函數;當0＜a＜1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為增函數

解:
（1）
（2）設u=,任取x₂＞x₁＞1,則
u₂－u₁=
=
=.
∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁－1＞0,x₂－1＞0.
又∵x₁＜x₂,∴x₁－x₂＜0.
∴＜0,即u₂＜u₁.
當a＞1時,y=log_ax是增函數,∴log_au₂＜log_au₁,
即f(x₂)＜f(x₁);
當0＜a＜1時,y=log_ax是減函數,∴log_au₂＞log_au₁,
即f(x₂)＞f(x₁).
綜上可知,當a＞1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為減函數;當0＜a＜1時,f(x)=log_a在(1,+∞)上為增函數.