Question

【題目】如圖，三棱柱的所有棱長都是2，面，，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出，從而平面平面，進而平面，，再求出，由此能證明平面．
（2）本問方法較多，可用割補法，轉換頂點法，構造法等，其中割補法較為方便，將轉化為，即可求解.

解：（1）∵，是的中點，

∴，

∵三棱柱中平面，

∴平面平面，且平面平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

又∵在正方形中，，分別是，的中點，

∴，

又，

∴平面.

（2）解法一（割補法）：

.

解法二（利用平行頂點輪換）：

∵，

∴，

∴

.

解法三（利用對稱頂點輪換）：

連結，交于點，

∵為的中點，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離.

∴

.

解法四（構造法）：

連結，交于點，則為的中點，再連結.

由題意知在中，，，所以，且，

又，，所以，所以，

又，

∴面，

∴.