Question

在極坐標系中，點M坐標是（3，

π

2

），曲線C的方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率是-1的直線l 經過點M．
（1）寫出直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求證直線l和曲線C相交于兩點A、B，并求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析：（1）先求點M的直角坐標是（0，3），直線l傾斜角，從而可寫出直線l參數方程；利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

將即坐標方程化為直角坐標方程；
（2）將直線的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，利用參數的幾何意義可解．

解答：解：（1）∵點M的直角坐標是（0，3），直線l傾斜角是135⁰，…（1分）
∴直線l參數方程是

x=tcos1350 y=3+tsin1350

，即

x=- 2 2 t y=3+ 2 2 t

，…（3分）
ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)即ρ=2（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ化簡得x²+y²-2x-2y=0，∴曲線C
的直角坐標方程為x²+y²-2x-2y=0；…（5分）
（2）

x=- 2 2 t y=3+ 2 2 t

代入x²+y²-2x-2y=0，得t2+3

2

t+3=0，
∵△＞0，∴直線l和曲線C相交于兩點A、B，…（7分）
設t2+3

2

t+3=0的兩個根是t₁，t₂，t₁t₂=3，
∴|MA|•|MB|=3．                  …（10分）

點評：本題主要考查圓的極坐標方程、參數方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式．要求學生能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．屬于中等題