Question

已知函數的定義域為，且滿足條件：①，②③當.
（1）求證：函數為偶函數；
（2）討論函數的單調性；
（3）求不等式的解集

Answer 1

解：（1）在①中令x="y=1," 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,
令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1) f(－1)=0,
再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1) f(x), ∴f(x)為偶函 數；
（2）在①中令
先討論上的單調性， 任取x₁http:///x₂，設x₂>x₁>0，

由③知：>0，∴f(x₂)>f(x₁)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函數，
∵偶函數圖象關于y軸對稱 ，∴f(x)在（－∞，0）上是減函數；
（3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)，
1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上為增函數，
由f[x(x－3)] ≤f(4) 得

2）若x(x－3)<0, ∵f(x)在（－∞，0）上為減函數；
由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 
∴原不等式的解集為：

略