Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，F為棱BB₁的中點，M為線段AC₁的中點．
求證：
（Ⅰ）直線MF∥平面ABCD；
（Ⅱ）平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（1）延長C₁F交CB的延長線于點N，由三角形的中位線的性質可得MF∥AN，從而證明MF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DANB為平行四邊形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC₁A₁，從而證得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

解答：（本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN．因為F是BB₁的中點，
所以，F為C₁N的中點，B為CN的中點．又M是線段AC₁的中點，
故MF∥AN．又MF不在平面ABCD內，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（Ⅱ）連BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A₁A=A，
AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因為NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

點評：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，同時考查了空間想象能力，推理論證的能力，屬于中檔題．