Question

已知函數，m＞0且f（1）=-1．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數y=f（x）在區間（-∞，m-1]上的單調性，并用函數單調性的定義證明；
（3）求實數k的取值范圍，使得關于x的方程f（x）=kx分別為：
①有且僅有一個實數解；
②有兩個不同的實數解；
③有三個不同的實數解．

Answer 1

解：（1）由f（1）=-1，得，|m|=1，
∵m＞0，∴m=1． （4分）
（2）由（1），m=1，從而，只需研究f（x）在（-∞，0]上的單調性．
當x∈（-∞，0]時，．
設x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，則，（6分）
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在區間（-∞，0]上是單調遞增函數． （10分）
（3）原方程即為…①
x=0恒為方程①的一個解． （11分）
若x＜0時方程①有解，則，解得，
由，得 ； （13分）
若x＞0且x≠2時方程①有解，則，解得，
由且，得或k＞0． （15分）
綜上可得，當時，方程f（x）=kx有且僅有一個解；
當時，方程f（x）=kx有兩個不同解；
當時，方程f（x）=kx有三個不同解． （18分）
分析：（1）將已知條件f（1）=-1，解得|m|=1，再結合m是正數，可得m=1；
（2）將（1）的結論代入得（-∞，m-1]=（-∞，0]根據函數單調性的定義，可設x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，通過作差化簡整理，最后得到f（x₁）-f（x₂）＜0，說明函數在區間（-∞，m-1]上是個增函數；
（3）首先，方程f（x）=kx有一個解x=0，然后分x＞0和x＜0加以討論：當x＞0且x≠2時，方程轉化為，得到，解不等式得或k＞0；當x＜0時，則，解得，解不等式得．最后綜合可得方程f（x）=kx解集的情況．
點評：本題以含有絕對值的分式函數的形式為例，考查了函數零點的分布與單調性等知識點，屬于難題．