Question

（2012•北海一模）過正四棱柱的底面ABCD中頂點A，作與底面成30°角的截面AB₁C₁D₁，截得的多面體如圖，已知AB=1，B₁B=D₁D，則這個多面體的體積為（　　）

• A．

  6

  2

• B．

  6

  3

• C．

  6

  6

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：作D₁E∥DC，連接B₁D₁，B₁E，BD，則幾何體被分割成兩個棱錐與一個棱柱，分別求出兩個棱錐與一個棱柱的體積，即可得多面體的體積

解答：解：作D₁E∥DC，連接B₁D₁，B₁E，BD，則幾何體被分割成兩個棱錐與一個棱柱，如圖：
∵截面AB₁C₁D₁與底面成30°的二面角，∴∠CAC₁=30°，
∵AB=1，∴AC=

2

，CC₁=ACtan30°=

2

×

3

3

=

6

3

∵截面AB₁C₁D₁為平行四邊形，∴AC₁與B₁D₁的交點為AC₁的中點
∴B₁B=D₁D=

1

2

CC₁=

6

6

∴VA-BDD1B1=

1

3

×

2

×

6

6

×

2

2

=

6

18

VBDC-B1D1C1=

1

2

×

6

6

=

6

12

VC1-B1D1E=

1

3

×

1

2

×

6

6

=

6

36

∴多面體的體積為

6

18

+

6

12

+

6

36

=

6

6

故選 C

點評：本題以多面體為載體，考查幾何體的體積，關鍵是將幾何體進行分割，利用規則幾何體的體積公式求解．