Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點.若點的極坐標為，直線經過點且與曲線相交于兩點，設線段的中點為，求的值.

Answer 1

【答案】(1); 線的直角坐標方程為;(2).

【解析】試題分析：（1）直線的參數方程中的參數為，所以消得到直線的普通方程；根據，，極坐標方程兩邊同時乘以，化簡為曲線的普通方程；（2）根據直線過點,可知直線的傾斜角，代入直線的參數方程，得到，代入曲線的極坐標方程，轉化為關于的一元二次方程，根據的幾何意義可知.

試題解析：（1）∵直線的參數方程為（為參數），

∴直線的普通方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由，得，即，

∴曲線的直角坐標方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）∵點的極坐標為，∴點的直角坐標為．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴，直線的傾斜角．

∴直線的參數方程為（為參數）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

代入，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

設兩點對應的參數為．

∵為線段的中點，

∴點對應的參數值為．

又點，則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分