Question

過直線l：5x-7y-70=0上的點P作橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的切線PM、PN，切點分別為M、N，連接MN．
（1）當點P在直線l上運動時，證明：直線MN恒過定點Q．
（2）當MN∥l時，定點Q平分線段MN．

Answer 1

分析：（1）設P（x₀，y₀）、M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．則橢圓過點M、N的切線方程分別為

x1x

25

+

y1y

9

=1，

x2x

25

+

y2y

9

=1，
M、N均在直線

x0x

25

+

y0y

9

=1，推出當點P在直線l上運動時，MN的方程x0(

x

25

+

5y

63

)-(

10y

9

+1)=0，然后說明直線MN恒過定點Q．
（2）當MN∥l時，可得

x0 25

5

-

5x0-70 63

-7

≠

-1

-70

.化簡MN的方程與橢圓聯立，利用韋達定理，證明定點Q平分線段MN．

解答：（1）：證明：設P（x₀，y₀）、M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
則橢圓過點M、N的切線方程分別為

x1x

25

+

y1y

9

=1，

x2x

25

+

y2y

9

=1．（3分）
因為兩切線都過點P，則有

x1x0

25

+

y1y0

9

=1，

x2x0

25

+

y2y0

9

=1．
這表明M、N均在直線

x0x

25

+

y0y

9

=1①上．由兩點決定一條直線知，式①就是直線MN的方程，
其中（x₀，y₀）滿足直線l的方程．（6分）
當點P在直線l上運動時，可理解為x₀取遍一切實數，相應的y₀為y0=

5

7

x0-10.
代入①消去y₀得

x0

25

x+

5x0-70

63

y-1=0②
對一切x₀∈R恒成立．（9分）
變形可得x0(

x

25

+

5y

63

)-(

10y

9

+1)=0
對一切x₀∈R恒成立．故有

x 25 + 5y 63 =0 10y 9 +1=0

由此解得直線MN恒過定點Q(

25

14

，-

9

10

)．（12分）
（2）當MN∥l時，由式②知

x0 25

5

-

5x0-70 63

-7

≠

-1

-70

.解得x0=

4375

533

.
代入②，得此時MN的方程為5x-7y-

533

35

=0③
將此方程與橢圓方程聯立，消去y得

533

25

x2-

533

7

x-

128068

1225

=0.（15分）
由此可得，此時MN截橢圓所得弦的中點橫坐標恰好為點Q(

25

14

，-

9

10

)的橫坐標，
即x=

x1+x2

2

=-

-533 7

2× 533 25

=

25

14

.
代入③式可得弦中點縱坐標恰好為點Q(

25

14

，-

9

10

)的縱坐標，
即y=

5

7

×

25

14

-

533

7×35

=

1

49

(

125

2

-

533

2

)=-

9

10

.
這就是說，點Q(

25

14

，-

9

10

)平分線段MN．（15）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的交點，中點坐標公式，平行線等分線段定理，考查計算能力，轉化思想，方程與函數思想，是中檔題．