Question

【題目】已知定理：“實數m，n為常數，若函數h（x）滿足h（m+x）+h（m﹣x）=2n，則函數y=h（x）的圖象關于點（m，n）成中心對稱”．
（1）已知函數f（x）= 的圖象關于點（1，b）成中心對稱，求實數b的值；
（2）已知函數g（x）滿足g（2+x）+g（﹣x）=4，當x∈[0，2]時，都有g（x）≤3成立，且當x∈[0，1]時，g（x）=2k（x﹣1）+1 ， 求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= 的圖象關于點（1，b）成中心對稱，

可得f（1+x）+f（1﹣x）=2b，

即有 + =4=2b，

解得b=2；

（2）解：由g（2+x）+g（﹣x）=4可得g（x）的圖象關于點（1，2）對稱，

且g（1）=2，

當k=0時，g（x）=2（0≤x≤1），又g（x）關于（1，2）對稱，

可得g（x）=2（0≤x≤2），顯然g（x）≤3恒成立；

當k＞0時，g（x）=2k（x﹣1）+1在[0，1]遞增，又g（x）關于點（1，2）對稱，

可得g（x）在[0，2]遞增，g（x）≤3，只需g（x）max=g（2）≤3，

又g（2）+g（0）=4，則g（0）≥1即21﹣k≥1，

即有0≤k≤1；

當k＜0時，g（x）=2k（x﹣1）+1在[0，1]遞減，又g（x）關于（1，2）對稱，

可得g（x）在[0，2]遞減，要使g（x）≤3，只需g（x）max=g（0）≤3，

即21﹣k≤3，解得1﹣log23≤k＜0．

綜上可得，1﹣log23≤k≤1

【解析】（1）由對稱性可得f（1+x）+f（1﹣x）=2b，化簡整理，即可得到b=2；（2）由g（2+x）+g（﹣x）=4可得g（x）的圖象關于點（1，2）對稱，且g（1）=2，對k討論，當k=0，k＞0，k＜0，結合對稱性和單調性，要使g（x）≤3，只需g（x）max≤3，運用單調性求得最大值，解不等式即可得到所求范圍．