Question

在平面直角坐標系xOy中，已知以O為圓心且面積最小的圓與直線l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共點T．
（1）求出T點的坐標及圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內動點P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數列，求

PA

•

PB

的范圍；
（3）設點T關于y軸的對稱點為Q，直線l與圓O交于M、N兩點，試求S=

QM

•

QN

×tan∠MQN的最大值，并求出S取最大值時的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由y=mx+（3-4m）過定點T（4，3）可知，要使圓O的面積最小，半徑最小，從而可得定點T（4，3）在圓上，可求圓O的方程
（2）可先設P（x₀，y₀），則科的

x

2 0

+

y

2 0

＜25…（1）由題意可得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，利用向量的數量積的坐標表示可得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，聯立可求y₀的范圍，代入可求求

PA

•

PB

的范圍
（3）直線l與圓O的一個交點為M（4，3），定點Q（-4，3），由向量的數量積的定義可得，

OM

•

ON

=2S_△MQN，從，要使S最大，則只要S_△MNQ最大，即N到MQ的距離最大即可

解答：解：（1）因為直線l：y=mx+（3-4m）過定點T（4，3）…（2分）
由題意，要使圓O的面積最小，定點T（4，3）在圓上，
所以圓O的方程為x²+y²=25；…（5分）
（2）A（-5，0），B（5，0），設P（x₀，y₀），則

x

2 0

+

y

2 0

＜25…（1）
∵

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
由|

PA

|，|

PO

|，|

PB

|成等比數列得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，
即

x

2 0

+

y

2 0

=

(x0+5)2+ y 2 0

•

(x0-5)2+ y 2 0

，
整理得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，
即

x

2 0

=

25

2

+

y

2 0

…（2）
由（1）（2）得：0≤

y

2 0

＜

25

4

，

PA

•

PB

=(

x

2 0

-25)+

y

2 0

=2

y

2 0

-

25

2

，
當y₀=0時有最小值，當y02=

25

4

時，函數值為0
∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0)．（10分）
（3）

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|cos∠MQN×tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|sin∠MQN=2S△MQN，…（11分）
由題意，得直線l與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（-4，3），
直線l_MQ：y=3，
∴|MQ|=8，則當N（0，-5）時S_△MQN有最大值32．…（14分）
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值為64，
此時直線l的方程為2x-y-5=0．…（16分）

點評：本題主要考查了直線方程的點斜式在判斷直線恒過定點中的應用，直線與圓相交關系的應用及向量的數量積的坐標表示等知識的綜合應用