Question

（2010•煙臺一模）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證AM∥平面BDE；
（2）試在線段AC上確定一點P，使得PF與CD所成的角是60°．

Answer 1

分析：（1）由題意建立空間直角坐標系，利用向量平行得到線線平行，從而說明線面平行；
（2）設出線段AC上P點的坐標，由PF與CD所成的角是60°，得到向量

PF

與

CD

所成的角的余弦值的絕對值等于

1

2

，由此可求得P點的坐標．

解答：（1）證明：如圖建立空間直角坐標系．設AC∩BD=N，
連結NE，則N(

2

2

，

2

2

，0)，E（0，0，1）∴

NE

=(-

2

2

，-

2

2

，1)
又A(

2

，

2

，0)，M(

2

2

，

2

2

，1)，
∴

AM

=(-

2

2

，-

2

2

，1)．
∴

NE

=

AM

，且NE與AM不共線，
∴NE∥AM，又NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（2）設P（t，t，0）(0≤t≤

2

)，
則

PF

=(

2

-t，

2

-t，1)，

CD

=(

2

，0，0)．
又∵

PF

與

CD

所成的角為60°，∴

|( 2 -t)• 2 |

( 2 -t)2+( 2 -t)2+1 • 2

=

1

2

，
解之得t=

2

2

或t=

3 2

2

（舍去），
故點P為AC的中點時滿足題意．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與直線所成角的求法，解答的關鍵是建立正確的右手系，利用向量證明線面平行時，最后要回歸到直線與平面平行，是中檔題．