Question

（2011•上海模擬）如圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的對應過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上（線段AB）的點M（如圖1）；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合（如圖2）；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上；點A的坐標為（0，1）（如圖3），當點M從A到B是逆時針運動時，圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），按此對應法則確定的函數使得m與n對應，即
f（m）=n．

對于這個函數y=f（x），有下列命題：
①f(

1

4

)=-1；  ②f（x）的圖象關于(

1

2

，0)對稱；  ③若f(x)=

3

，則x=

5

6

；  ④f（x）在（0，1）上單調遞增．
其中正確的命題個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由題中對映射運算描述，對四個命題逐一判斷其真偽，①因為M在以（1，1-

1

2π

）為圓心，（1-

1

2π

）為半徑的圓上運動，當m=

1

4

時，點N的坐標為（-1，0），故f（

1

4

）=-1；②可由圖3中圓關于Y軸的對稱判斷出正誤；③由f(x)=

3

，得到∠ANO=30°，∠OAN=60°，由此求出x；④可由圖3得到M的運動規律觀察出函數值的變化，得出單調性．

解答：解：如圖，因為M在以（1，1-

1

2π

）為圓心，（1-

1

2π

）為半徑的圓上運動，
對于①當m=

1

4

．M的坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），直線AM方程y=x+1，所以點N的坐標為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，故①正確．
②是正確命題，由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數值互為相反數，故可知f（x）的圖象關于點 (

1

2

，0)對稱．
③是正確命題．∵f(x)=

3

，
∴∠ANO=30°，∴∠OAN=60°，
∴x=

5

6

．
④是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增是正確的；
綜上知，①③④是正確命題，
故選D．

點評：本題考查映射的概念，解答本題關鍵是理解題設中所給的對應關系，正確認識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，較抽象，是難題．