Question

已知函數f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然對數的底數，k為正數）
（I）若f（x）在x=x₀處取得極值，且x₀是f（x）的一個零點，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在區間[

1

e

，1]上的最大值；
（III）設函數g（x）=f（x）-kx在區間（

1

e

，e）上是減函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：利用導數工具研究函數的極值，單調性與最值問題．
（1）x₀是極值點導數值為0，函數值也為0，解方程得k．
（2）函數在閉區間上的最值：先利用導數判斷單調性，后求最值．
（3）函數在區間上是減函數故其導數在該區間上≤0恒成立，故可解得k的范圍．

解答：解：（I）由已知f'（x₀）=0，即

e

x0

-

k

x02

=0，（2分）
∴x0=

k

e

，又f（x₀）=0，即eln

k

e

+e=0，∴k=1．（4分）

（II）f′(x)=

e

x

-

k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1≤k≤e，∴

1

e

≤k≤1，（6分）
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)時，f（x）單調遞減；
x∈(

k

e

，1)時，f（x）單調遞增
故fmax(x)∈{f(

1

e

)，f(1)}（8分）
又f(

1

e

)=ek-e，f(1)=k
當ek-e＞k，即

e

e-1

＜k≤e時，
fmax(x)=f(

1

e

)=ek-e
當ek-e≤k，即1≤k≤

e

e-1

時，
f_max（x）=f（1）=k（10分）

（III）g′(x)=f′(x)-k=

e

x

-

k

x2

-k，
∵g（x）在(

1

e

，e)在是減函數，
∴g'（x）≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立
即

e

x

-

k

x2

-k≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立，
∴k≥

e

x+ 1 x

在x∈(

1

e

，e)上恒成立，（12分）
又x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2當且僅當x=1時等號成立．
∴

e

x+ 1 x

≤

e

2

，∴k∈[

e

2

，+∞)（14分）

點評：本題關鍵是要明確導數在函數的單調性，極值，最值中的應用．