Question

在平面直角坐標系xoy中，設點F(

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，0)，直線l：x=-

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，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（ I） 求動點Q的軌跡的方程C；
（ II） 設圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，設圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當M運動時弦長|TS|是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析：（ I） 判斷動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，即可得到拋物線的方程；
（ II）M到y軸的距離為d=|x₀|=x₀，求出圓的半徑，即可表示出弦長|TS|，利用M（x₀，y₀）∈C，即可得到結論．

解答：解：（ I） 依題意知，直線l的方程為：x=-

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．…（2分）
且F的坐標為（

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，0），
∵點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線．…（4分）
∴|PQ|是點Q到直線l的距離．
∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴|PQ|=|QF|．…（6分）
故動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，
其方程為：y²=2x（x＞0）．…（8分）
（ II）?M（x₀，y₀）∈C，M到y軸的距離為d=|x₀|=x₀，…（9分）
圓的半徑r=|MA|=

(x0-1)2+y02

，…（10分）
則|TS|=2

r2-d2

=2

y 2 0 -2x0+1

，M（x₀，y₀）∈C…（12分）
由（ I）知y02=2x0，
所以|TS|=2

y 2 0 -2x0+1

=2，是定值．…（14分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查軌跡方程，考查圓中弦長的求解，正確運用拋物線的定義是關鍵．