Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的

充要

條件．

Answer 1

分析：由題意，可由函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）為[-1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)的周期性即可得出f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，由此證明充分性，再由f（x）為[3，4]上的減函數(shù)結(jié)合周期性即可得出f（x）為[-1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)即可得出f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，由此證明必要性，即可得出正確選項(xiàng)

解答：解：由題意，f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）為[0，1]上的增函數(shù)
所以f（x）為[-1，0]上是減函數(shù)
又f（x）是定義在R上的函數(shù)，且以2為周期
[3，4]與[-1，0]相差兩個(gè)周期，故兩區(qū)間上的單調(diào)性一致，所以可以得出f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，故充分性成立，
若f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，由周期性可得出f（x）為[-1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，故必要性成立
綜上，“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的充要條件．
故答案為：充要．

點(diǎn)評(píng)：本題考查充分性與必要性的判斷，解題的關(guān)鍵是理解充分性與必要性證明的方向，即由那個(gè)條件到那個(gè)條件的證明是充分性，那個(gè)方向是必要性，初學(xué)者易搞不清證明的方向?qū)е卤硎錾铣霈F(xiàn)邏輯錯(cuò)誤，