Question

已知函數，（為常數），直線與函數、的圖象都相切，且與函數圖象的切點的橫坐標為．

（1）求直線的方程及的值；

（2）若 [注：是的導函數]，求函數的單調遞增區間；

（3）當時，試討論方程的解的個數．

 

Answer 1

【答案】

(1) ; ;(2) ， ;(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用函數在處的導數，等于在處切線的斜率，所以先求,再求,直線的斜率就是,直線過點,代入得到直線的方程，直線與的圖象相切，所以代入聯立,得到值；（2）先求, 得到,再求,令,得到的取值范圍，即求得函數的單調遞增區間；（3）令，，再求,得到極值點，然后列表分析當變化時，，的變化情況，結合為偶函數，畫出的函數圖形，再畫,當直線上下變化時，可以看出交點的變化，根據交點的不同，從而確定，再不同的范圍下得到不同的交點個數.此問注意分類討論思想的使用，不要遺漏情況．屬于較難習題．

試題解析：（1）解：由，

故直線的斜率為，切點為，，即，，

所以直線的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

直線與的圖象相切，等價于方程組只有一解，

即方程有兩個相等實根，

所以令，解得. 5分

（2）因為，

由，

令，所以，

所以函數的單調遞增區間是，. 8分

（3）令，，

由，令，得，，， 10分

當變化時，，的變化情況如下表：

	，		，		，		，
	+		－		+		－
		極大值		極小值		極大值

又為偶函數， 所以函數的圖象如圖：

當，時，方程無解；

當或，時，方程有兩解；

當時，方程有三解；

當，時，方程有四解．　 14分

考點：１.導數的幾何意義；２.利用函數的導數求函數的單調區間；３.利用導數求方程根的個數；４.數形結合．