Question

（1）設函數f(x)=

m•2x+m-2

2x+1

為奇函數，求m的值；
（2）已知f(x)=

a

a2-2

(ax-a-x)(a＞0且a≠1)是R上的增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）的定義域為R，且f（x）為奇函數，則有f（0）=0，建立方程，解之即可；
（2）根據函數是R上的增函數，則任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，討論a與1的大小，即可求出a的范圍．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為R，且f（x）為奇函數，
則有f（0）=0，解得m=1
（2）任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

a

a2-2

(ax2-ax1)(ax1ax2+1)

ax1ax2

＞0，又由ax1＞0，ax2＞0，可知

a

a2-2

(ax2-ax1)＞0
當0＜a＜1時，a2-2＜0，ax2-ax1＜0，上式成立；
當a＞1時，ax2-ax1＞0，應有a²-2＞0，即a＞

2

，綜上，a的取值范圍是(0，1)∪(

2

，+∞)

點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數的奇偶性，同時考查了轉化的思想和恒成立問題，屬于中檔題．