Question

（本小題滿分12分）
設橢圓的左、右焦點分別為,點滿足.
（1）求橢圓的離心率;
(2)設直線與橢圓相交于A,B兩點.若直線與圓相交于M,N兩點,且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.

Answer 1

解：（1）設，（），因為，
所以，                        …………2分
代入，整理得，
即，解得.                    ……………………5分
(2)由（1）知,可得橢圓方程為,
直線的方程為,                       ……………………7分
A,B兩點坐標滿足方程組,消y整理得,
解得或,所以A,B兩點坐標為,,
所以由兩點間距離公式得|AB|=,                       ……………………9分
于是|MN|=|AB|=,圓心到直線的距離,
因為,所以,解得,
所以橢圓方程為.                             ……………………12分

略