Question

已知函數f（x）=（nx-n+2）e^x（其中n∈R，e為自然對數的底數），求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,指數型復合函數的性質及應用

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：求出函數的導數，對參數n的范圍進行分區間討論，以確定f（x）在[0，1]上的最大值

解答： 解：f′（x）=（nx+2）e^x，
當n≥0時，導數為正，故函數f（x）在[0，1]上增，此時最大值為f（1）=（n-n+2）e¹=2e
當n＜0時，令導數為0，解得x=-

2

n

＞0，故當-

2

n

≥1時，即-2≤n＜0，函數f（x）在[0，1]上減，此時最大值為f（0）=（-n+2）e⁰=2-n
當0＜-

2

n

＜1時，即n＜-2時，由于f（0）=（-n+2）e⁰=2-n＞4，f（1）=（n-n+2）e¹=2e，故最大值為max{2-n，2e}
綜上，n≥0時，f（x）_max=2e；當-2≤n＜0時，最大值為2-n，當n＜-2時，最大值為max{2-n，2e}．

點評：利用導數，確定出函數的單調區間是解答本題的關鍵，本題考查了分類討論的思想