Question

銳角三角形△ABC中，若A=2B，則下列敘述正確的是

 

①sin3B=sinC    
②tan

3B

2

tan

C

2

=1    
③

π

6

＜B＜

π

4

    
④

a

b

∈[

2

，

3

]．

Answer 1

考點：正弦定理的應用

專題：解三角形

分析：由銳角三角形和誘導公式以及正弦定理，逐個選項判斷即可．

解答： 解：∵在銳角三角形△ABC中A=2B，
又A+B+C=π，∴C=π-3B，
∴sin3B=sinC，故①正確；
由C=π-3B可得

C

2

=

π

2

-

3B

2

，
∴tan

3B

2

tan

C

2

=tan（

π

2

-

C

2

）tan

C

2

=

sin( π 2 - C 2 )

cos( π 2 - C 2 )

•

sin C 2

cos C 2

=

cos C 2

sin C 2

•

sin C 2

cos C 2

=1，故②正確；
由銳角三角形可知A、B、C均為銳角，
∴

0＜2B＜ π 2 0＜B＜ π 2 0＜π-3B＜ π 2

，解得

π

6

＜B＜

π

4

，故③正確；
由A=2B可得sinA=sin2B=2sinBcosB，
由正弦定理可得

a

b

=

sinA

sinB

=2cosB，
∵

π

6

＜B＜

π

4

，∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，
∴

2

＜cosB＜

3

，即

2

＜

a

b

＜

3

，故④錯誤．
故答案為：①②③

點評：本題考查銳角三角形的性質，涉及正弦定理和誘導公式以及不等式的性質，屬中檔題．