Question

已知a，b為正實數．

(1)求證：≥a＋b；

(2)利用(1)的結論求函數y＝ (0<x<1)的最小值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）1

【解析】(1)證明：方法一：∵a>0，b>0，

∴(a＋b) ＝a2＋b2＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.

∴≥a＋b，當且僅當a＝b時等號成立．

方法二：－(a＋b)

＝，

又∵a>0，b>0，∴≥0，

當且僅當a＝b時等號成立．∴≥a＋b.

方法三：∵a>0，b>0，∴a2＋b2≥2ab.

∴a＋≥2b，b＋≥2a，∴(a＋b)＋≥2a＋2b.

∴≥a＋b.(當且僅當a＝b時取等號)．

(2)∵0<x<1，∴1－x>0，

由(1)的結論，函數y＝≥(1－x)＋x＝1.

當且僅當1－x＝x，即x＝時等號成立．

∴函數y＝ (0<x<1)的最小值為1.