Question

對于函數，若存在區間，使得，則稱函數為“和諧函數”，區間為函數的一個“和諧區間”．給出下列4個函數：
①；②；③； ④．
其中存在唯一“和諧區間”的“和諧函數”為                      （     ）

A．①②③

B．②③④

C．①③

D．②③

Answer 1

Ｄ

解析試題分析：對于①，由于函數的周期是4，正弦函數的性質我們易得，A=[0，1]為函數的一個“和諧區間”；同時當A=[-1，0]時也是函數的一個“和諧區間”，∴不滿足唯一性；
對于②，由于=2x²-1，當A=[-1，1]時，∈[-1，1]，滿足條件，且由二次函數的圖象可知，滿足條件的集合只有A=[-1，1]一個．∴=2x²-1滿足題意；
對于③，由指數函數的性質我們易得，M=[0，1]為函數=|2^x-1|的“和諧區間”，由指數函數的圖象可和，滿足條件的集合只有A=[0，1]一個．∴=|2^x-1|滿足題意；
對于④，由于=ln（x+1）單調遞增，且函數的定義域為（-1，+∞），若存在“和諧區間”，則滿足，∴m，n是方程的兩個根，設，，當x＞0時，＞0，此時函數單調遞增，當-1＜x＜0時，＜0，此時函數單調遞減，且，故=e^x-x-1=0有且只有一個解，故=ln（x+1）不存在“可等域區間”．故存在唯一“和諧區間”的“和諧函數”為：②③．故選：D．
考點：１．函數的概念；２．函數的圖象與性質；３．新定義．