Question

設函數，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（2，f（2））在曲線上，利用方程聯立解出a，b
（2）可以設P（x，y）為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯立，得到交點坐標，接著利用三角形面積公式即可．
解答：解析：（1）方程7x-4y-12=0可化為，當x=2時，，
又，于是，解得，故．

（2）設P（x，y）為曲線上任一點，由知曲線在點P（x，y）處的切線方程為，即
令x=0，得，從而得切線與直線x=0的交點坐標為；
令y=x，得y=x=2x，從而得切線與直線y=x的交點坐標為（2x，2x）；
所以點P（x，y）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為．
故曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．
點評：高考考點：導數及直線方程的相關知識
易錯點：運算量大，不仔細而出錯．
備考提示：運算能力一直是高考考查的能力之一，近年來，對運算能力的要求降低了，但對準確率的要求提高了．