Question

由函數y=f（x）確定數列{a_n}，a_n=f（n），若函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）能確定數列{b_n}，b_n=f^-1（n），則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“反數列”．
（1）若函數f(x)=2

x

確定數列{a_n}的反數列為{b_n}，求{b_n}的通項公式；
（2）對（1）中{b_n}，不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設cn=

1+(-1)λ

2

•3n+

1-(-1)λ

2

•(2n-1)(λ為正整數)，若數列{c_n}的反數列為{d_n}，{c_n}與{d_n}的公共項組成的數列為{t_n}，求數列{t_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）f(x)=2

x

(x≥0)?an=2

n

，f-1(x)=

x2

4

(x≥0)，由此能求出數列{a_n}的反數列為{b_n}的通項公式．（2）把不等式化為

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，數列{T_n}單調遞增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)，由此能求出使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍．
（3）設公共項t_k=c_p=d_n，k、p、q為正整數，當λ為奇數時，t_n=2n-1，{t_n}的前n項和S_n=n²．當λ為偶數時，t_n=3ⁿ，{t_n}的前n項和Sn=

3

2

(3n-1)．

解答：解：（1）f(x)=2

x

(x≥0)?an=2

n

（n為正整數），f-1(x)=

x2

4

(x≥0)
所以數列{a_n}的反數列為{b_n}的通項bn=

n2

4

（n為正整數）（2分）
（2）對于（1）中{b_n}，不等式化為

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)..（3分）
Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
∴數列{T_n}單調遞增，（5分）
所以（T_n）_min=T₁=1，要是不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)．（6分）
∵1-2a＞0，∴0＜a＜

1

2

，又1-2a＞a2，0＜a＜

2

-1
所以，使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍是(0，

2

-1)..（8分）
（3）設公共項t_k=c_p=d_n，k、p、q為正整數，
當λ為奇數時，cn=2n-1，dn=

1

2

(n+1)（9分）
2p-1=

1

2

(p+1)，q=4p-3，則{c_n}?{b_n}（表示{c_n}是{b_n}的子數列），t_n=2n-1
所以{t_n}的前n項和S_n=n²..（11分）
當λ為偶數時，c_n=3ⁿ，d_n=log₃n（12分）
3q=log₃q，則q=33p，同樣有{c_n}?{b_n}，t_n=3ⁿ
所以{t_n}的前n項和Sn=

3

2

(3n-1)（14分）

點評：本題考查數列通項公式的求法、實數的取值范圍和前n項和的求法，解題時要注意導數的合理運用和分類討論思想的靈活運用．