Question

在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊做兩個銳角α、β，它們的終邊分別與單位圓O相交于A、B兩點，已知A、B的橫坐標分別為、
（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）若點C為單位圓O上異于A、B的一點，且向量與夾角為，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意及銳角三角函數定義求出cosα和cosβ的值，再由α、β為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα和sinβ的值，然后把所求的式子利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）設出C的坐標為（m，n），代入單位圓方程中，得到關于m與n的關系式，記作①，再由已知的兩向量的夾角，利用平面向量的數量積運算法則表示出夾角的余弦值，整理后得到關于m與n的另一個關系式，記作②，聯立①②，即可求出m與n的值，從而確定出C的坐標．
解答：解：（Ⅰ）依題意得，，…（2分）
∵α，β為銳角，
∴sinα==，sinβ==，…（4分）
則cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=×+×
=；…（6分）
（Ⅱ）設點C的坐標為（m，n），
∵C在單位圓上，則m²+n²=1，①…（7分）
∵向量與夾角為，||=||=1，且=（m，n），=（cosα，sinα）=（，），
∴，…（9分）
整理得：，即m+7n=5，②…（10分）
聯立方程①②，
解得：或…（11分）
∴點C的坐標為或． …（12分）
點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的余弦函數公式，銳角三角形函數定義，數量積表示兩向量的夾角，平面向量的數量積運算法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．