Question

（2013•東莞二模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA₁=AB=2．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若BC=3，求三棱錐D-BC₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）連接B₁C，交BC₁相交于O，連接OD，可證明OD是△AB₁C的中位線，再根據線面平行的判定定理即可證明．
（2）由已知可得側棱CC₁⊥面ABC，把計算三棱錐D-BC₁C的體積轉化為計算三棱錐C₁-BCD的體積．

解答：解：（1）證明：連接B₁C，設B₁C與BC₁相交于O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，∴點O為B₁C的中點．
∵D為AC的中點，
∴OD為△AB₁C的中位線，∴OD∥B₁A．
OD?平BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴側棱CC₁∥AA₁，
又∵AA₁底面ABC，∴側棱CC₁⊥面ABC，
故CC₁為三棱錐C₁-BCD的高，A₁A=CC₁=2，
∴S△BCD=

1

2

S△ABC=

1

2

(

1

2

BC•AB)=

3

2

．
∴VD-BCC1=VC1-BCD=

1

3

CC1•S△BCD=

1

3

•2•

3

2

=1．

點評：本題考查了線面平行和線面垂直及體積，充分理解和掌握定理是解題的關鍵．