Question

【題目】如圖，已知等邊與直角梯形所在的平面互相垂直，且，，，.

（1）證明：直線平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，則，得，則，則平面；

（2）解：取中點，中點，連接，，則，可證平面，則平面，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用平面的法向量與直線的方向向量的夾角的余弦值即可求出答案．

（1）證明：連接交于點，連接，

∵，，

∴，

∵，

∴，∴，

又∵平面，平面，

∴平面；

（2）解：取中點，中點，連接，，

∴，

又∵等邊，∴；

∵平面平面，，平面平面，平面，

∴平面，

∴平面，

分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

∴，，，，，

設平面的一個法向量為，

則由得一個，

設直線與平面所成角為，

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為．