Question

（本題滿分12分）有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是P和Q(萬元)，它們與投入資金x(萬元)的關系有經驗公式:P=x，Q=.今有3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少,能獲得的最大利潤為多少？

 

Answer 1

【答案】

為了獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為0.75萬元和2.25萬元，獲得最高利潤1.05萬元.

【解析】本題考查了二次根式在實際問題中的運用．關鍵是根據題意列方程，兩邊平方去根號轉化為關于x的一元二次方程，利用判別式求解．

根據3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，設投入甲x萬元，則投入乙（3-x）萬元，根據總利潤=甲的利潤+乙的利潤，列方程并平方整理為關于x的一元二次方程，由△≥0，求s的最大值，并求出此時x的值．

解:設對甲種商品投資x萬元，獲總利潤為y萬元，則對乙種商品的投資為(3-x)萬元，于是y=x+(0≤x≤3).

令t= (0≤t≤)，則x=3-t²,   

∴y= (3-t²)+ t= (3+3t-t²)  =- (t-)²+,t∈［0,］.

∴當t=時，y_max==1.05(萬元)； 由t=可求得x=0.75(萬元)，  3-x=2.25(萬元),

∴為了獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為0.75萬元和2.25萬元，獲得最高利潤1.05萬元.