Question

（本題滿分14分）已知函數f (x)=lnx，g(x)=e^x．

 （I）若函數φ (x) = f (x)－，求函數φ (x)的單調區間；

 （Ⅱ）設直線l為函數 y＝f (x) 的圖象上一點A(x₀，f (x₀))處的切線．證明：在區間(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g(x)相切．

注：e為自然對數的底數．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ） ，

．  2分

∵且，

∴

∴函數的單調遞增區間為．··············· 4分

（Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切線的方程為, http:// /

即, 　　① ······················ 6分

設直線與曲線相切于點，

∵，∴，∴．················· 8分

∴直線也為，

即，  ②······················· 9分

由①②得 ，

∴．···························· 11分

下證：在區間（1，+）上存在且唯一.

由（Ⅰ）可知，在區間上遞增．

又，，······ 13分

結合零點存在性定理，說明方程必在區間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                                               

故結論成立．

【解析】略