Question

已知函數

（1）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若對任意實數恒成立，確定實數的取值范圍；

（3）當時，是否存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）， 因此在處的切線的斜率為，

又直線的斜率為， ∴（）＝－1，

∴ ＝－1.

（2）∵當≥0時，恒成立，

∴ 先考慮＝0，此時，，可為任意實數；

  又當＞0時，恒成立，

則恒成立， 設＝，則＝，

當∈(0,1)時，＞0，在(0,1)上單調遞增，

當∈(1,＋∞)時，＜0，在(1,＋∞)上單調遞減，

故當＝1時，取得極大值，，

∴ 實數的取值范圍為．

（3）依題意，曲線C的方程為，

令＝，則

設，則，

當，，故在上的最小值為，

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲線C：在點處的切線與軸垂直，

則＝0，矛盾。

所以，不存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直.