Question

設數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=a₂S_n+a₁，其中a₂≠0．
（1）若a₂=2，求a₁及a_n；
（2）若a₂＞-1，求證：S_n≤

n

2

（a₁+a_n），并給出等號成立的充要條件．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比數列的前n項和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）S_n+1=a₂S_n+a₁，S_n=a₂S_n-1+a₁，兩式相減得a_n+1=a₂a_n（n≥2），由此能求出an=2n-1．
（2）當n=1或n=2時，S_n=

n

2

(a1+an)，等號成立．設n≥3，a₂＞-1且a₂≠0，即證：1+a2+a22+…+a2n≤

n+1

2

(1+a2n)，n≥2，由此推導出當a₂＞-1且a₂≠0時，有Sn≤

n

2

(a1+an)，當且僅當n=1，2或a₂=1時等號成立．

解答： （1）解：S_n+1=a₂S_n+a₁…①，
當n=1時代入①，得S₂=a₂S₁+a₁，解得a₁=1；
由①得S_n=a₂S_n-1+a₁，兩式相減得a_n+1=a₂a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=a2，
∴{a_n}為公比為2的等比數列，
∴an=2n-1．
（2）證明：當n=1或n=2時，S_n=

n

2

(a1+an)，等號成立．
設n≥3，a₂＞-1且a₂≠0，
由（1）知，a1=1，an=a2n-1，
∴要證的不等式化為：
1+a₂+a22+…+a2n-1≤

n

2

(1+a2n-1)，n≥3，
即證：1+a2+a22+…+a2n≤

n+1

2

(1+a2n)，n≥2，
當a₂=1時，上面不等式的等號成立．
當-1＜a₂＜1時，a2r與a2r-1，（r=1，2，3，…，n-1）同為負；
當a₂＞1時，a2r-1與a2n-r-1，（r=1，2，2，…，n-1）同為正；
因此當a₂＞-1且a₂≠1時，總有 （a2r-1）（a2n-r-1）＞0，
即a2r+a2n-r＜1+a2n，（r=1，2，3，…，n-1）．
上面不等式對r從1到n-1求和得，
2(a2+a22+…+a2n-r)＜（n-1）（1+a2n），
由此得1+a2+a22+…+a2n＜

n+1

2

(1+a2n)．
綜上，當a₂＞-1且a₂≠0時，有Sn≤

n

2

(a1+an)，
當且僅當n=1，2或a₂=1時等號成立．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．