Question

已知（

3

x2

+3x²）ⁿ展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992．求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：由題意可得4ⁿ-2ⁿ=992，求得n=5，設第r+1項的系數最大，則有

C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1 C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1

，解得

7

2

≤r≤

9

2

．再由 r∈N，可得r的值．

解答：解：令x=1可得各項系數和為4ⁿ，二項式系數和為2ⁿ，
由題意可得4ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32 2ⁿ=-31 （舍去），解得n=5．
設第r+1項的系數最大，則有

C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1 C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1

，解得

7

2

≤r≤

9

2

．
再由 r∈N，可得r=4．
故系數最大的項為 T₅=

C

4 5

•x

2

3

•（3x²）⁴=405x

26

3

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題．