Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若對(duì)任意的恒成立．試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若時(shí)，求函數(shù)在上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用基本不等式即可求得最小值；

（2）由題意可得在上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出的最大值即可得解；

（3）先證明在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，對(duì)、兩種情況進(jìn)行分類討論分析函數(shù)的單調(diào)性從而求出最值.

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，

所以的最小值為2；

（2）根據(jù)題意可得在上恒成立，

等價(jià)于在上恒成立，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，所以，

所以；

（3），設(shè)，

，

，即，

在單調(diào)遞減，同理可證在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，

.

所以.