Question

已知函數f（x）=

2

•sin(2x+

π

3

)，求
（1）函數f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合和周期；
（2）函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）當2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，（k∈Z）時，可求得函數f（x）取得最大值時自變量x的集合，利用三角函數的性質可求得最值及周期；
（2）利用正弦函數的單調性質可求得函數f（x）的單調增區間．

解答：解：（1））∵f（x）=

2

sin（2x+

π

3

），
當2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=kπ+

π

12

，k∈Z，時，函數f（x）取得最大值

2

，
且取得最大值的自變量x的集合{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}
故函數f（x）取得最大值周期T=

2π

2

=π…（6分）
（2）當2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

時，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）時，
f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）單調遞增，
∴函數f（x）的單調增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）…（6分）

點評：本題考查正弦函數的單調性、周期性及最值，考查規范答題與分析運算的能力，屬于中檔題．