Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且點P（1， ）在橢圓C上，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設過定點T（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過橢圓C1： + =1上異于其頂點的任一點P，作圓O：x2+y2= 的兩條切線，切點分別為M，N（M，N不在坐標軸上），若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明： + 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：c=1，

∴a2=b2+1，

又因為點P（1， ）在橢圓C上，

∴ + =1，

解得：a2=4，b2=3，

則橢圓標準方程為 + =1

（2）解：設直線l方程為y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），

聯立 ，消去y得：（4k2+3）x2+16kx+4=0，

∵△=12k2﹣3＞0，∴k2＞ ，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∵∠AOB為銳角，∴ ＞0，即x1x2+y1y2＞0，

∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，

整理得：（1+k2） +2k +4＞0，即 ＞0，

整理得：k2＜ ，即 ＜k2＜ ，

解得：﹣ ＜k＜﹣ 或 ＜k＜

（3）解：由題意：C1： + =1，

設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），

∵M，N不在坐標軸上，∴kPM=﹣ =﹣ ，

∴直線PM的方程為y﹣y2=﹣ （x﹣x2），

化簡得：x2x+y2y= ④，

同理可得直線PN的方程為x3x+y3y= ⑤，

把P點的坐標代入④、⑤得 ，

∴直線MN的方程為x1x+y1y= ，

令y=0，得m= ，令x=0得n= ，

∴x1= ，y1= ，

又點P在橢圓C1上，

∴（ ）2+3（ ）2=4，

則 + = 為定值

【解析】（1）由焦點坐標確定出c的值，根據橢圓的性質列出a與b的方程，再將P點坐標代入橢圓方程列出關于a與b的方程，聯立求出a與b的值，確定出橢圓方程即可；（2）設直線l方程為y=kx+2，A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），聯立l與橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理表示出x1+x2與x1x2 ， 根據∠AOB為銳角，得到 ＞0，即x1x2+y1y2＞0，即可確定出k的范圍；（3）由題意：確定出C1的方程，設點P（x1 ， y1），M（x2 ， y2），N（x3 ， y3），根據M，N不在坐標軸上，得到直線PM與直線OM斜率乘積為﹣1，確定出直線PM的方程，同理可得直線PN的方程，進而確定出直線MN方程，求出直線MN與x軸，y軸截距m與n，即可確定出所求式子的值為定值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．