Question

（本小題滿分12分）
已知函數滿足對一切都有,且,
當時有.
(1)求的值;
(2)判斷并證明函數在上的單調性;
(3)解不等式:.

Answer 1

⑴在上是減函數. ⑶.

本試題主要是考查了抽象函數的賦值思想的運用，以及單調性證明和不等式的求解綜合運用。
（1）令,得, 再令,得 ,即,從而 
（2）按照定義法，任取
得到證明。
（3）由條件知,,    
設,則,即,
整理,得  
又因為在上是減函數,,即可知結論。
解:⑴令,得 ,
再令,得 ,
即,從而 .        ……………………………2分
⑵任取
     ……………………………3分
.  ………………………4分
,即.
在上是減函數.        ……………………………6分
⑶由條件知,,    
設,則,即,
整理,得  ,      ……………………………8分
而,不等式即為,
又因為在上是減函數,,即,  …………………10分
,從而所求不等式的解集為. …………12分