Question

過點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切線，切點(diǎn)為M₁，設(shè)M₁在x軸上的投影是點(diǎn)P₁．又過點(diǎn)P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為M₂，設(shè)M₂在x軸上的投影是點(diǎn)P₂…．依此下去，得到一系列點(diǎn)M₁，M₂，…，M_n，…，設(shè)它們的橫坐標(biāo)a₁，a₂，…，a_n，…，構(gòu)成數(shù)列{a_n}．（a₁≠0）．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）求證：an≥1+

n

k+1

；
（3）若k=2，記bn=

n

i=0

(-1)i

a

2 n-i

C

i 2n-i+1

，求b₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（1）要證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，只需利用已知條件證明

an

an-1

=

k

k-1

是常數(shù)即可，利用通項(xiàng)公式的求法直接求其通項(xiàng)公式；
（2）要證an≥1+

n

k+1

，先驗(yàn)證n=1然后利用二項(xiàng)式定理，采用放縮法證明即可．
（3）若k=2，記bn=

n

i=0

(-1)i

a

2 n-i

C

i 2n-i+1

，求出b_n=2b_n-1-b_n-2，解得b_n=n+1，然后求b₂₀₁₀．

解答：解：（1）對(duì)y=x^k求導(dǎo)數(shù)，得y^/=kx^k-1，切點(diǎn)是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
當(dāng)n=1時(shí)，切線過點(diǎn)P（1，0），即0-a₁^k=ka₁^k-1（x-a₁），得a₁=

k

k-1

，
當(dāng)n＞1時(shí)，切線過點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），得

an

an-1

=

k

k-1

，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=

k

k-1

，公比為

k

k-1

的等比數(shù)列，且通項(xiàng)公式為an=(

k

k-1

)n．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

k

k-1

=1+

1

k-1

，當(dāng)n≥2時(shí)，應(yīng)用二項(xiàng)式定理，an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0 n

+

C

1 n

1

k-1

+

C

2 n

(

1

k-1

)2++

C

n n

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．
（3）a_n=2ⁿ，b_n=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i+1

，設(shè)cn=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-1

，
則b_n=2²ⁿ+

n

i=1

(-1)i22n-2i(

C

1 2n-1

+

C

i-1 2n-1

)=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-1

-

n-1

j=0

(-1)j22(n-1)-2j

C	j 2(n-1)-j+1

=c_n-b_n-1．
同理c_n=2²ⁿ+

n-1

i=1

(-1)i22n-2i(

C

i 2n-i-1

+

C	i-1 2n-i-1

)+(-1)n=

n-1

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i-1

+

n

i=1

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i-1

+

n

i=1

(-1)i22n-2i

C	i-1 2n-i-1

=4

n-1

i=0

(-1)i22(n-1)-2i

C	i 2(n-1)-i+1

-

n-1

k=0

(-1)k22(n-1)-2k

C	k 2(n-1)-k

=4b_n-1-C_n-1．
∴b_n+b_n-1=c_n=4b_n-1-c_n-1=4b_n-1-b_n-1-b_n-2，即b_n=2b_n-1-b_n-2，∴b_n-b_n-1=b_n-1-b_n-2═b₁-b₀=2-1=1，
故b_n=n+1，∴b₂₀₁₀=2011．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的證明，數(shù)列的化簡(jiǎn)與構(gòu)造法的應(yīng)用，是本題解題的關(guān)鍵，注意二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．