Question

在△ABC中，角A、B、C的對應邊分別為a、b、c，若lga-lgb=lgcosB-lgcosA．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若a、b滿足：函數y=ax+3的圖象與函數y=

1

3

x-b的圖象關于直線y=x對稱，求邊長c．

Answer 1

分析：（1）由lg

a

b

=lg

cosB

cosA

及正弦定理得

a

b

=

cosB

cosA

=

sinA

sinB

，則可得sin2A=sin2B，結合三角函數的性質可判斷
（2）由題意可得y=ax+3的反函數y=

1

a

x-

3

a

與函數y=

1

3

x-b重合，可求a，b，解答（1）的直角三角形利用勾股定理可求c

解答：解：（1）由lg

a

b

=lg

cosB

cosA

得 

a

b

=

cosB

cosA

=

sinA

sinB

，于是
sin2A=sin2B   …（4分）
所以三角形ABC為等腰三角形或直角三角形．  …（6分）
（2）因為y=ax+3的反函數y=

1

a

x-

3

a

與函數y=

1

3

x-b重合，所以a=3，b=1                  …（10分）
由（1）可知△ABC為直角三角形
從而 c=

10

…（12分）

點評：本題主要考查了利用正弦定理解三角形，互為反函數的圖象關于y=x對稱的知識的綜合應用，解（1）得到sin2A=sin2B時，注意可得2A=2B或2A+2B=180°，但若是sinA=sinB時只能得到a=B，要注意區別兩種情況的不同